定义2.2(脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称
?σ是M-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在Vm的每个模型中都真，记作VM╞σ;
?是M-脱殊多宇宙假的当且仅当VM╞┐σ;
?σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当Vm╞／σ并且VM╞／-σ。
特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V乍口。其他概念类似。
根据推论1.4，如果VM的每个模型都满足“W是真类”，则PD是M脱殊多宇宙真的，根据定理1.5，对任意M，CH都是脱殊多宇宙无意义的。这看起来使得脱殊多宇宙立场比形式主义更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回应了武丁的挑战。但是，武丁又通过一系列的数学工作论证了脱殊多宇宙立场难以成立，这需要定义武丁的Ω逻辑以及Ω猜想。
回忆一下，对任给结构『？』，『？』的理论定义为:
Th(『？』)={σ| ZFC╞“『？』σ”}。
仿此，我们定义任意结构烈在脱殊多宇宙真理观下的理论为:
ThM(『？』)={σ｜╞“『？』╞σ”}
对任意语句σ，形如“对任意无穷序数α，Vα╞σ”的断言是ll2断言。事实上，脱殊多宇宙的真理概念只适用于ll2语句，这是因为我们在定义脱殊多宇宙真理概念时只允许使用集合力迫。令是最小的武丁基数，则H(时)卜σ和H(时)Fσ都是II2断言。因此，如果令
Mll2={σ｜V╞σ并且σ是II2语句}
为所有II2多字宙真语句的集合，则ThM(H(δ0+))在集合Mll2中是递归的。但是，仿照塔斯基的真理不可定义性，相反的方向应该不能成立，人们把它总结成:第一多宇宙定律
所有I2多宇宙真语句的集合Mll2在H(δ0+)的脱殊多宇宙理论 ThM(H(δ0+))中不是递归的。这一定律要求不能把整个集合宇宙中的所有II2真理，更不必说所有真理，归结为集合宇宙的一个片段H(δ0+)中的真理。这是一个合理的要求，因为如果脱殊多宇宙的模型类中只有V一个模型，则以上定律是显然成立的。
称一个集合Y?Vω是借助多宇宙在H(δ0+)中可定义的，如果Y在多宇宙模型类的每个模型中都是在H(δ0+)中可定义的。出于同样的哲学考量，还可以有:第二多宇宙定律所有II2多宇宙真语句的集合M2不是借助多宇宙能在H(δ0+)中可定义的。如果脱殊多宇宙的真理观不能满足以上两条定律，那它与形式主义在根本哲学立场上就是一致的，即:
把整个集合宇宙的真归结为这个宇宙的某个清晰片段的真。
形式主义者把集合宇宙的真理归结为ZFC的定理，也就是归结为数论中的真，而脱殊多宇宙立场则是把集合宇宙的(lI2)真理归结为H(δ0+)，全体基数不超过最小武丁基数的集合。哥德尔借用他的不完全性定理，曾对形式主义的这一立场做过令人信服的反对。[3])而武丁则同样令人信服地证明，以上形式的脱殊多宇宙立场必然违反这两个定律，所以与形式主义的真理观并无根本差别。
定义2.3(武丁，1999)假设T是集合论语言中的可数理论，σ是集合论语言中的语句，我们定义σ是T的Ω-逻辑后承，记作T╞Ωσ，当且仅当对任意完全布尔代数B，对任意序数α，如果VB╞T，则VB╞σ
定理2.4(武丁，1999)假设W是真类，并且假设T是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数B
T╞Ωσ当且仅当VB╞“T╞Ωσ”。
这就是说，假设存在武丁基数的真类，Ω-逻辑后承关系是脱殊绝对的。特别地，全体Ω-逻辑有效式的集合VΩ={σ｜╞Ωσ}不能被任何力迫改变。
还注意到，假设W是真类，则MlI2与VΩ具有同样的图灵复杂度，即，每个集合都在另一个集合中是递归的。同样，假设W是真类，则集合VΩ(H(δ0+))={σ丨ZFC=σ“H(δ0+)╞σ”}恰好就是ThM(H(δ0+))。为了定义Ω逻辑的证明，我们需要回忆一些概念。一个拓扑空间是紧致的当，且仅当它的任意覆盖都有有穷子覆盖;它是豪斯道夫(Hausdorff)空间当且仅当它的任意两个不同点都有不相交的邻域。令S为紧致的豪斯道夫空间，称X?S 在S中有贝尔性质当且仅当存在开集O?S使得对称差X△O在S中是贫乏集(meager set).
定义2.5(冯琦、麦基道、武丁，1992)一个实数的子集A具有通用贝尔性质当且仅当对任意紧致豪斯道夫空间S，任意连续映射f:S→R，A在S下的原象具有贝尔性质。
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！
喜欢求道九州请大家收藏：(m.zjsw.org)求道九州爪机书屋更新速度全网最快。