Let j:Vo M be the ultrapower embedding generated by U， so
U=\{A\inP_δ(λ)\mid j''λ\in j(A)\}.
We need to verify that j''λ\in j(X). First， note that j''λ\in M. Letting au=\sup(j''λ)， we then have that M\models{\rm cf}(au)=λ. Since
M\models j(λ)\geau is regular，
it follows that auamp;amp;amp;amp;lt;j(λ). Let \leftamp;amp;amp;amp;lt;T_\beta\mid\betaamp;amp;amp;amp;lt;j(λ)\rightamp;amp;amp;amp;gt;=j(\leftamp;amp;amp;amp;lt;S_\alpha\mid\alphaamp;amp;amp;amp;lt;λ\rightamp;amp;amp;amp;gt;). In M， the T_\beta partition S^{j(λ)}_\omega into stationary sets. Let
A=\{\beta
δ是规则的。然后有一个集合X具有函数f:a\mapsto\sup(a)在X上是单射的性质，并且，对于任何正常的精细测度U上Pδ(λ)， X ∈ U。
从索洛维引理可以得出，任何这样的 U都等价于序数上的测度。
证明。设\vec S=〈 S_α|αλ〉是S^λ_≤γ的一个分划成平稳集。
(我们也可以使用S^\λ_≤γ来表示任何固定的γ<δ。回想一下，
S ^λ_γ={α<λ| cf(α)≤γ}
同样的，S^λ_γ=S^λ_=γ和S^λ_<γ)
这种分区的存在是Solovay的一个众所周知的结果。
Hugh实际上给出了对这个事实的一个疯狂的证明:否则，试图产生这样一个划分应该会失败，因此我们可以得到一个容易定义的完整超滤器 V on λ。可定义性实际上确保了 V在V^λ V中，矛盾。在第三节课中，我们会遇到一个类似的可定义的分裂论证。
让X由∈Pδ(λ)中的一个组成，这样，让β=sup(a)，我们有cf(β)>ω，和
a=\{α<β| S_α∩β固定在β}中。
那么f在X上是1-1，因为根据定义，X中的任何a都可以由\vec S和\sup(a)重构。所有需要讨论的是X在U中对于U上P_δ(λ)的任何正常精细测量U。(这表明要定义U-测度1集，我们只需要将S^λ_ω划分为平稳集。)
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