a:H→H,aχ=limn→∞a(n)χforχ∈Ha: \mathcal{H} \to \mathcal{H}, a\chi=lim_{n \to \infty} a_{(n)} \chi \quad for \quad \chi \in \mathcal{H} .
当然我们也可以定义相应的a'空间，它们组成的互补代数 A,A′\mathcal{A},\mathcal{A'} 互相同构。 定义关于 A\mathcal{A} 和 A′\mathcal{A}' 代数是cyclic和seperating的态。
Ψ=I2′?I2′.....?I2′...∈H\Psi=I_{2}' \otimes I_{2}'.....\otimes I_{2}'...\in \mathcal{H}
一个自然的线性函数是
F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\langle \Psi|a |\Psi\rangle
可以看出这个函数给出了求迹的定义，来验证一下
首先因为 |Ψ?|\Psi\rangle 是seperating的，所以对于非零的a， a|Ψ?≠0a|\Psi\rangle eq 0 ,所以首先 F(a?a)?0F (a^{\dagger}a) \geqslant 0
而对于两个算符a，b,
F(ab)=TrM2[1]?....M2[k]a1b1?a2b2...?akbk=F(ba)F(ab)=Tr_{M_{2}^{[1]} \otimes....M_{2}^{[k]}}a_{1}b_{1} \otimes a_{2}b_{2}...\otimes a_{k}b_{k}=F(ba)
因此满足这个交换性，（我们注意到实际上定义完von-Neumann代数之后，cyclic seperating态的结构在这个交换性上产生了重要作用）。 因为以上性质，这个线性函数定义了求迹的运算，相应的von-Neumann代数被称为type II的，而能否定义求迹运算，实际上构成了type II和type III代数的最终区别。
下面介绍type III的代数：
type III的von-Neumann代数则是性质最差的，此时不仅无法定义子区域的希尔伯特空间，甚至求迹操作都没法良好定义。相比于前两个，它也是更为一般的von-Neumann代数。 考虑一般的两体纠缠，此时不是最大纠缠，可以把描述两体纠缠的矩阵写作
K2,λ=1(1+λ)1/2diag(1,λ1/2)K_{2,\lambda}=\frac{1}{(1+\lambda)^{1/2}} \mathrm{diag}(1,\lambda^{1/2}) , diag表示对角矩阵。
此时构造type III的方法就是把构造type II时的所有 I2′I_{2}' 换为 K2,λK_{2,\lambda} .
同时要求态除了有限个之外，其他的 vnv_{n} 都等于 K2,λK_{2,\lambda} . 根据态空间的结构，也可以类似的构造其上的算符，先定义 A0\mathcal{A_{0}} ,然后再采取相同的步骤利用极限保证代数闭合，因此定义的代数是 Aλ\mathcal{A}_{\lambda} , 因为定义代数闭合的时候需要利用希尔伯特空间，因此 Aλ≠AA_{\lambda}eq \mathcal{A} ，因此会得到和type II不同的代数结构。对于相应的代数，此时的cyclic seperating态为
Ψ=K2,λ?K2,λ.....?K2,λ....\Psi=K_{2,\lambda} \otimes K_{2,\lambda}.....\otimes K_{2,\lambda}....
可以很自然的去进行验证，此时 F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\langle \Psi|a|\Psi\rangle 定义给出的线性函数不满足 F(ab)=F(ba)F(ab)=F(ba) ，因此代数不再有一个合理的求迹的定义。
对于 λ≠λ′\lambda eq \lambda' 时，通常 Aλ,Aλ′\mathcal{A}_{\lambda}, \mathcal{A}_{\lambda'} 不是同构的。以上的构造也可以进行推广，即我们可以取不同的 K2,λK_{2,\lambda}
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