通常的AdS/CFT模型中，场论需要取大N极限。
考虑CFT中的一个single trace 算符， 它的k点函数满足 O(N2?k)O(N^{2-k}) ，因此取大N极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让single trace算符具有合理的大N极限， 我们可以定义一个减除过后的single trace算符
W=TrW??TrW?\mathcal{W}=Tr W-\langle Tr W\rangle
此时因为在大N极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。
考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数 AL,0,AR,0\mathcal{A}_{L,0}, \mathcal{A}_{R,0}, 它是定义在边界上的 .根据对偶关系，有
AL,0=Al,0.AR,0=Ar,0\mathcal{A}_{L,0}=\mathcal{A}_{l,0}. \mathcal{A}_{R,0}=A_{r,0}
因此边界上的single trace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。
那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？
通常对于一个热场二重态
|TFD?=∑ie?βEi/2|Ei?L|Ei?R|TFD\rangle=\sum_{i}e^{-\beta E_{i}/2}|E_{i}\rangle_{L}|E_{i}\rangle_{R}
它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个TFD的参数 β\beta 描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在AdS时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于Hawking-page温度这个描述才是成立的。
T＞TpageT＞T_{page}
而在page温度以下，时空处于AdS真空态。对于真空态，大N极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大N下满足von-Neumann I∞I_{\infty} ，而当温度大于page温度之后，其大N极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大N极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemble对偶具有重要意义） 表现在代数上，意味着此时在大N极限下，von-Neumann代数会变成type III1\mathrm{III_{1}} 的. 同时TFD态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于TFD态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造Hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是type III\mathrm{III} 型的代数。
以上在取大N极限之后，演生出了一个type III1\mathrm{III_{1}} 的von-Neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量
HR′=HR??HR?H_{R}'=H_{R}-\langle H_{R}\rangle
因为 ?HR′2?～N2\langle H_{R}'^{2}\rangle \sim N^{2} , 这个哈密顿量依然没有大N极限。为了定义它在大N极限下表现良好，可以定义
U=1NHR′U=\frac{1}{N}H_{R}' , 在大N下U不为0也不发散，因此具有良好的大N极限。而对于 V∈AR,0\mathcal{V} \in \mathcal{A}_{R,0} ,有如下关系
[U,V]=1N[HR,V]=?iN?V?t[U,\mathcal{V}]=\frac{1}{N}[H_{R},\mathcal{V}]=-\frac{i}{N} \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial t}
取 N→∞N \to \infty ,我们发现 [U,V]→0[U,\mathcal{V}] \to 0 , 因此U是 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 这个代数的center。并且因为U和其他算符都对易，不满足 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 中的元素要求，所以扩充后的代数结构为 AR=AR,0?AU\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{R,0} \otimes \mathcal{A}_{U} . 作用的空间为 HTFD?L2(R)\mathcal{H}_{TFD}\otimes L^{2}(R) . 此时的代数依然是type III\mathrm{III} 的，但是因为它具有了一个非平庸的center，因此不再是一个factor。 一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的center。
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！
喜欢深红基金会请大家收藏：(m.zjsw.org)深红基金会爪机书屋更新速度全网最快。