Tr(a^b^)=?Ψ^|b^a^K?1|Ψ^?=Tr(b^a^)Tr(\hat{a}\hat{b})=\langle \hat{\Psi}|\hat{b}\hat{a}K^{-1}|\hat{\Psi}\rangle=Tr(\hat{b}\hat{a})
这里用到了 K~\tilde{K} 和a对易。
利用 ΔΨΨ=Ψ,h^Ψ|Ψ?=0\Delta_{\Psi}\Psi=\Psi, \quad \hat{h}_{\Psi}|\Psi\rangle=0 , 求迹操作的定义可以写为如下简单的形式
Tr(a^)=?Ψ^|a^eXg(X)|Ψ^?=∫?∞∞dXeX?Ψ|a^|Ψ?Tr(\hat{a})=\langle \hat{\Psi}|\hat{a}\frac{e^{X}}{g(X)}|\hat{\Psi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dX e^{X}\langle \Psi|\hat{a}|\Psi\rangle
有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于Hilbert空间的态 |Φ?∈H|\Phi\rangle \in \mathcal{H} , 可以定义 ρ∈A\rho \in \mathcal{A}
?Φ|a|Φ?=Tr(ρa)\langle \Phi| a |\Phi\rangle=Tr(\rho a)
由以上定义可以看出，对于cyclic seperating的态 |Ψ^?|\hat{\Psi}\rangle ,密度矩阵就是 K. 得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵
S(ρ)=?Tr(ρlogρ)S(\rho)=-Tr(\rho log \rho)
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