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第一百六十二章 老傅的考察

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“想要了解一下。”

老傅拿起茶杯抿了一口茶水,装作不经意地问道:“了解到哪里了,能跟老师说说流形吗?”

“流形是一个拓扑空间,在每个点的邻域内,都存在一个与欧几里得空间同胚的映射,使得该邻域在拓扑结构上与欧几里得空间相似。比如说对于一个n维流形,在每一个点的邻域内,我们可以找到一个局部坐标系,使得这个邻域与n维欧几里得空间 R^n在结构上是等价的。这样解释似乎流形在局部上与欧几里得空间是相同的。当然,流形在全局上的结构可能更复杂一些。”

能这样脱口而出流形的定义,局部坐标的概念也毫不含糊,这微分几何,看来是真的学进去了。

就是不知道学到了多少?

还得考考她。

老傅想到这里,又说:“可以举个例子吗?”

“如果把流形看作一个光滑的曲面,那么我们可以想象这个曲面在大范围可能有复杂的拓扑结构,但在小范围(比如足够小的邻域内),它就像一个平面一样,具有相同的性质。比如地球表面虽然是一个球面,全球范围上它是弯曲的,但小到一个区域,比如一个城市周围,地球看起来像是平坦的。”

“你提到流形可以用局部坐标来描述,这是什么意思?”老傅快速反问道。

陆兮不假思索:“局部坐标是流形的一个关键特性,它允许我们在流形的局部区域上,用标准的欧几里得空间坐标系统来近似地描述流形。也就是说,流形的每一点都有一个邻域,这个邻域是局部欧几里得空间。通过这种方式,我们能够在这些局部区域内使用平坦的坐标系,进而对流形进行分析和研究。因为局部坐标系本质上是从流形到欧几里得空间的一个光滑映射。”

“例如?”老傅丝毫不给陆兮思考的时间。

“例如圆面。圆面是一个二维流形,虽然它是弯曲的,但我们可以在圆面上每一点的周围找到一小块区域,这个区域可以通过二维欧几里得空间(平面)来描述。我们在圆面上的一点取一个小邻域,这个邻域就可以用平面的坐标(x,y)来表示。”

……

“好,学得不错,我们再来谈谈黎曼度量。”

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