“有限域……射影平面？”
简瑶看着草稿纸上那行字，感觉自己的大脑像是被格式化了一样，一片空白。
这两个词，她都听说过。
有限域，是抽象代数里的概念，由少年天才伽罗瓦在决斗前夜匆匆写下，开创了一个全新的数学纪元。
射影平面，则是射影几何的核心，研究的是图形在中心投影下保持不变的性质。
这两个东西，在各自的领域里都如雷贯耳。
但她活了十八年，读了无数数学专着，从未想过，有人会把这两个看似风马牛不相及的概念，和“拉姆齐数”这种组合图论里的怪物联系在一起。
这就像是有人告诉你，可以用唐诗宋词的平仄格律，去解决一道量子力学的薛定谔方程。
荒谬，离谱，甚至可以说是疯狂！
“你的意思是……用代数和几何的方法，来构造一个图？”
简瑶的声音里充满了不确定，她感觉自己的世界观正在被某种更强大的东西撬动，摇摇欲坠。
“更准确地说，”
许燃的笔尖，在“有限域”三个字上轻轻一点，发出清脆的“笃”声，“是用代数，去定义‘点’，用几何，去定义‘边’。”
他的话，在简瑶的脑海中轰然炸响。
她好像……抓住了一点什么。
那是一种直觉，一种天才面对更高维度智慧时，下意识的战栗与共鸣。
“坐过来。”
许燃指了指自己身边的位置，那里刚好还有一个空位。
简瑶的脸颊微微一热。
她鬼使神差地，站起身，绕过桌子，真的坐到了他的旁边。
两人靠得很近，她甚至能闻到许燃身上那股淡淡的、好闻的肥皂味，混杂着旧书页的墨香。
这让她那颗因为数学而狂热的心，莫名地多了一丝慌乱。
“你看。”
许燃没有察觉到她的异样，他的全部心神，都沉浸在即将构建的数学世界里。他就是这个世界的创世神。
“我们首先，考虑一个最简单的有限域，GF(q)。”
他开始在纸上书写，字迹干净利落，“这里的q是一个素数的幂。
在这个域里，有q个元素，它们满足我们熟悉的加法和乘法交换律、结合律，构成一个完美的封闭世界。”
简瑶强迫自己静下心来，目光紧紧跟随着许燃的笔尖。
这些都是抽象代数的基础，她还勉强能跟上。
“现在，我们来定义一个三维向量空间V，这个空间建立在GF(q)之上。
空间里的每一个向量，都有三个分量(x， y， z)，而x， y， z都是GF(q)里的元素。”
许燃的笔速不快，但每个步骤都清晰无比，带着一种不容置疑的逻辑美感。
“这个三维空间里，有多少个非零向量？”他突然停笔，侧头看着简瑶，像一个考较学生的老师。
简瑶心头一跳，几乎是脱口而出：“q的立方，再减去一个零向量，q3-1个。”
“很好。”
许燃赞许地点了点头，这让简瑶心里竟升起一丝小小的喜悦。
“现在，关键的一步来了。
我们在这个空间里定义一个‘等价关系’。
如果两个向量v1和v2，存在一个GF(q)里的非零常数c，使得v1 = c * v2，我们就说这两个向量是等价的。”
“这……”
简瑶的眼睛猛地一亮，呼吸都急促了，“这就是在定义‘方向’！
所有共线的非零向量，都被你归为了一类！”
“完全正确！”
许燃的眼神里，流露出一丝棋逢对手的欣赏，“而这些等价类的集合，就是我们所说的‘射影平面’，记作PG(2，q)。”
他抬起头，看着简瑶那因为激动而微微泛红的脸颊，那双清冷的眸子此刻亮得惊人。
“现在，你告诉我，这个射影平面里，有多少个‘点’？”
这个问题，像一把火炬，彻底点燃了简瑶的思维。
她几乎不需要思考，逻辑链条在脑中自动生成、延伸、闭合！
“每个等价类里，都有q-1个互相成比例的非零向量。
所以，点的总数，就是(q3-1)除以(q-1)……等于q2+q+1！”
当简瑶自己推导出这个数字时，她感觉自己的每一个细胞都在战栗。
一种前所未有的，通透淋漓的快感，从尾椎骨直冲天灵盖！
太美了！
太优雅了！
从冰冷的代数结构中，自然而然地生长出鲜活的几何对象。
这种感觉，简直比世界上任何东西都让她着迷！
她之前用计算机暴力求解的想法，在此刻的许燃面前，简直就像原始人挥舞着石斧，而对方，已经拿出了激光炮！
“我们有了‘点’。”
许燃的声音，像是有魔力一般，引导着她继续深入这个奇妙的新世界，“下一步，就是定义‘线’。
在射影平面中，‘线’就是通过原点的所有平面的集合。”
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