莱顿会议的日程已近尾声,连日来的报告,无论是以希尔伯特、哈代为代表的精密分析,还是以外尔为旗手的系统化代数建构,都弥漫着一种欧洲大陆理性主义传统特有的、致力于将数学大厦构建于无懈可击的逻辑基石之上的庄严气息。这气息令人敬畏,却也无形中筑起了一道高墙,一种由严格定义、缜密推导和公理化语言构成的、近乎贵族式的学术壁垒。
然而,1920年会议的最后一天,这种严谨而略显沉重的氛围,被一位来自遥远东方的、仿佛携带着另一种宇宙法则的数学家,以一种近乎神秘的方式打破了。当大会主席宣布下一位报告人是斯里尼瓦萨·拉马努金时,会场泛起一阵好奇的涟漪,夹杂着些许怀疑的低语。这位来自英属印度马德拉斯的年轻职员,凭借与哈代的通信和几篇发表在英国期刊上的、充满奇异公式的论文,已在小范围内引起了轰动,但也因其工作缺乏系统证明而备受争议。
拉马努金走上讲台时,姿态谦卑,甚至有些拘谨。他身材瘦削,面容带着热带阳光的痕迹和一种长期伏案思考的苍白。他穿着一身明显不合体的、略显陈旧的西装,与哥廷根或剑桥学者们的从容气度格格不入。但当他抬起头,那双深陷的眼睛望向听众时,一种奇异的光芒闪烁其中——那不是学者式的锐利探究,而更像是一位先知或通灵者在凝视另一个维度的景象时所流露出的、混合着痴迷与确信的光芒。
他没有寒暄,没有引言,甚至没有标题。他用带着浓重泰米尔口音的英语,直接开始了叙述,声音不高,却异常清晰,仿佛在陈述一些不言自明的事实。
“考虑这个函数……”他在黑板上写下了一个关于分拆数 p(n) 的、极其复杂的渐进公式。这个公式的精度高得令人瞠目结舌,它不仅给出了p(n)的主项,还包含了一系列修正项,其复杂程度远超当时任何已知的渐近分析结果。更令人震惊的是,他声称这个公式并非来自繁琐的围道积分和鞍点法估计,而是源于他对模形式和θ函数的某种内在对称性的直接“看见”。
会场里开始出现窃窃私语。哈代和李特尔伍德交换了一个眼神,既有惊叹,也有困惑——他们正在用最先进的圆法攻坚分拆数,过程极其繁复,而拉马努金似乎是从天而降,直接给出了答案。
拉马努金没有停顿,他擦掉公式,又写下了另一组恒等式,涉及模形式的变换性质。他写道:
“若定义 θ?(q) = Σ_{n=-∞}^∞ q^{n2}, 则有如下美妙的公式……”
他写下了一个将θ函数的高次幂与另一类级数联系起来的恒等式。这些等式在形式上极其优美对称,但其出现却显得毫无征兆,仿佛是他从数学宇宙的隐秘角落直接采摘而来的果实。他解释这些恒等式的方式,不是通过一步步的推导,而是用“显然”、“自然”、“它必须是这个样子”之类的词语,辅以一些看似随意、却充满深意的数值计算验证。
核心的震撼:与艾莎范式的隐秘共鸣
起初,台下的希尔伯特、庞加莱学派的传人以及哥廷根的年轻精英们,感到的是不适与隔阂。这种不依赖公理和严格证明、完全凭借直觉和数值归纳的陈述方式,挑战了他们所受的学术训练的核心准则。
然而,随着拉马努金一个接一个地抛出他那些关于连分数、超几何级数和模方程的惊人发现,一种更深层次的震撼开始在一些最具洞察力的人心中蔓延开来,尤其是希尔伯特和已故庞加莱思想的理解者们。
他们逐渐意识到,拉马努金的工作,在精神内核上,与艾莎·黎曼的几何化范式,存在着一种惊人的、跨越时空的隐秘共鸣!
“看见”而非“推导”:艾莎·黎曼的强大之处,在于她能够“看见”离散数论问题背后连续的几何结构。拉马努金同样如此,他仿佛能直接“看见”公式之间的深层联系和对称性,而绕过所有中间的逻辑步骤。他们都依赖于一种超逻辑的数学直觉,一种直达问题核心的洞察力。
对“内在对称性”的痴迷:艾莎范式的核心是认为数学对象的性质由其背后的对称性(几何结构的对称性)决定。拉马努金的所有工作,无论是分拆数公式、模形式恒等式还是罗杰斯-拉马努金恒等式,都充满了对各种数学对象(级数、连分数)所具有的奇妙对称性和变换不变性的极致追求和揭示。他感知到的,正是艾莎所强调的支配数学世界的“和谐律”。
公式作为“几何实在”的投影:在艾莎的图景中,一个解析公式(如L函数)是某个高维几何实在的“影子”或“投影”。拉马努金那些看似凭空产生的恒等式,在他眼中,或许并非代数技巧的产物,而是某个更宏大的、他尚未能严格描述(或许也无意去描述)的数学宇宙基本结构的必然反映。他的公式,就像是那个隐藏宇宙的碎片化密码。
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