莱顿会议的尾声，注定要定格为解析数论史上一个不朽的时刻。此前，哈代关于临界线上存在无穷多个零点的报告，如同一次精准的远程侦察，确认了主攻方向的正确性；而拉马努金天启般的直觉展示，则像一场来自神秘领域的启示，拓宽了所有人的想象边界。然而，当大会日程推进到最后一天下午，当戈弗雷·哈代与约翰·李特尔伍德并肩走上讲台时，与会者们意识到，他们即将见证的，不是侦察，也不是启示，而是一场主力军团的全面阅兵，是一次经过长期演练、装备精良的正面战役的总攻演示。
报告的标题平实而恢宏：《圆法：理论与应用》。哈代与李特尔伍德，这两位剑桥的“数学双星”，一个如出鞘的利剑，锋芒毕露，言辞犀利；一个如厚重的盾牌，沉静缜密，逻辑坚不可摧。他们的联袂出场本身，就是一种宣言：圆法，这门诞生于他们笔下、历经十余年打磨的解析艺术，已不再是灵光一现的奇技淫巧，而是一门系统、深刻、且威力强大的成熟理论。
哈代负责开场，他的目光扫过全场，带着一种经过时间淬炼的、毋庸置疑的自信。“先生们，”他开口道，声音清晰而富有穿透力，“在过去几天里，我们探讨了零点、探讨了直觉、探讨了各种美妙的公式。现在，让我们回到地面，回到一场战役的核心——即，我们如何用严格的分析工具，去系统地攻克那些看似由无序和随机主宰的加性数论难题？”
他身后的黑板上，早已写下了几个核心问题的名称：华林问题，哥德巴赫猜想（弱形式），孪生素数猜想。
“圆法的目标，”哈代斩钉截铁地说，“就是为这类问题提供一个统一的、强有力的攻击框架。它的核心思想，我们已初步阐述过。今天，我们将向诸位展示，这把武器已经锻造完成，并且，我们已经用它，攻下了第一个重要的堡垒。”
第一部分：从技巧到理论——公理化的圆法
李特尔伍德迈步上前，他的风格与哈代形成鲜明对比。他语速平稳，用词精准，如同一位工程师在解说精密蓝图的每一个细节。他首先致力于将圆法从一系列巧妙的“技巧”和“估计”，提升为一套公理化的理论体系。
“圆法的基础，”李特尔伍德开始说道，“建立在三个基石之上。”他在黑板上写下：
生成函数的积分表示：任何一个数论计数问题（如将n表为k次幂之和的方法数 r_k(n)），都可以通过其生成函数的围道积分来表达。核心公式为：
r_k(n) = (1/2πi) ∮_|z|=ρ F(z) z^{-n-1} dz
其中 F(z) 是生成函数。圆法的“圆”，正源于此积分路径是单位圆。
优弧与劣弧的划分：这是圆法的灵魂。根据有理点逼近的迪利克雷定理和指数和估计的理论，他们将单位圆（积分路径）划分为两部分：
优弧：围绕分母较小的既约分数 a/q 的微小弧段。在这些弧段上，生成函数 F(z) 呈现峰值，其行为可由奇异级数 (n) 主导，贡献主项。
劣弧：单位圆上剩下的、远离低分母有理点的绝大部分弧段。在这些弧段上，生成函数 F(z) 的模很小，其积分贡献可作为误差项。
主项与误差项的分离估计：
主项估计：在优弧上，通过局部近似（通常将生成函数近似为高斯和与奇异积分），给出主项的精确表达式：r_k(n) ~ (n) J(n)。其中 (n) 是体现同余条件影响的“奇异级数”，J(n) 是体现解析条件的“奇异积分”。
误差项控制：在劣弧上，通过高精度的指数和估计（运用韦伊估计、范·德·科珀特方法等），证明其积分贡献远小于主项，即 ∫_劣弧 = o(主项)。
李特尔伍德的阐述，冷静而清晰，将圆法从一个依赖灵感的“戏法”，提升为一座由复分析、丢番图逼近和解析指数和理论 共同支撑的、结构严谨的逻辑大厦。他强调了每一步的条件和适用范围，指出了理论进一步深化所需攻克的技术难点（如高维情况下的劣弧估计）。这标志着圆法已从“工具”演变为“理论”。
第二部分：辉煌的战果——华林问题的精确渐近式
在奠定了理论框架后，哈代再次上前，展示圆法的巅峰之作——对华林问题的彻底征服。他不满足于希尔伯特证明的“存在性”，而是要给出表示方法数量 r_k(n) 的精确渐近公式。
“希尔伯特教授证明了 g(k) 的存在性，这是一项伟大的功绩。”哈代首先向哥廷根学派致敬，随即话锋一转，“但圆法允许我们走得更远。我们不仅可以知道‘能否表示’，还可以精确地知道‘有多少种表示方法’，并且能解释这个数量背后的数学原因！”
他在黑板上，以铿锵有力的笔触，写下了那个经典的公式：
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