命题1：如果是第一个不可达基数
K = min （入入是第入个不可达基数｝，则 k 不是马洛基数。
命题2:如果 k 是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是第入个不可达基数｝在 k 中无界。
先证明命题1：按照定义，任何小于 k 的不可达基数 y 都是第 a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。现在定义是不可达基数：
X :={ y amp ; amp ; amp ; amp ; a
mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly 是不可达基数｝上的函数 f : X →→ k 使得 f ( y )= a ，其中 a amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，且 y 是第 a 个不可达基数。从而 f 是 x 上的退缩函数。如果 k 是马洛基数，按照上一个证明， X 将成为 k 上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个 k 上的平稳集 SCX 和某个 B 使得任何 yES 有 f ( y )= B ，即任何 yES 是第 B 个不可达基数。但我们知道第 B 个不可达基数只有一个，这与 S 是平稳集矛盾。
命题2:假设是第入个不可达基数：
T :={\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是第入个不可达基数｝在 k 中有界，即 su pT amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。令 a = su pT ，则集合 C ={ B amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k |β amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; a ｝是 k 上的无界闭集。因为 k 是马洛基数，所以
是不可达基数。
X ={\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，按定义 XNC 也是 k 上的平稳集。而 XNC 是 k 中所有大于 a 的不可达基数的集合。而且每个不可达基数 yEXNC , y 不可能是第 v 个不可达基数，从而 v 只可能是第 E amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集 XNC 上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。
3不可描述基数
不可描述基数是对 V 的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将 V 具有的不可描述性移植到作为集合的 Vk 上。对于作为大全的 V 我们不是很方便谈论，但 Vk 可以。称 k （实际也是 V K ）是∑ nm ﹣可描述的，在于存在一则∑ n m ﹣命题中，使得 p 仅在 Vk 中为真，即不存在 a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得中也会在 Va 中为真。换言之，满足中这一描述的仅为 Vk ，中是 Vk 独有的描述，故构成对 Vk 的本质描述。反之，称 k 是∑ nm ﹣不可描述的，在于对任意∑ n m ﹣命题中， Vk 满足中就意味着存在 a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k , Va 也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述 Vk 。而" k 是∑ nm ﹣不可描述的"或" K 是 Nnm ﹣不可描述的"是则∑ n +1m﹣命题或 Nn +1m﹣命题，你的想法是对的，只是" k 是一阶不可描述"这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，"任意命题都无法描述"不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。
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